Seja f: R-0 R dada por:
f(x)=11+2^1x
Mostre que lim x 0^+ f(x)=0 e lim x 0^- f(x)=1.

Passo 1

Vamos resolver o limite da função f(x) = 11 + 2^1x quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0^+ ) e pela esquerda ( 0^- ). Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o limite quando x se aproxima de 0 pela direita ( x 0^+ ). Nesse caso, x é positivo e muito próximo de 0, então 1x tende a +infty .

Passo 3

Com 1x tendendo a +infty , a expressão 2^1x também tende a +infty , já que qualquer número maior que 1 elevado a um expoente que vai para infinito tende a infinito.

Passo 4

Substituindo na função f(x) , temos:
f(x) = 11 + 2^1x approx 11 + infty = 1infty = 0
Portanto, lim x 0^+ f(x) = 0 .

Passo 5

Agora, vamos considerar o limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x 0^- ). Nesse caso, x é negativo e muito próximo de 0, então 1x tende a -infty .

Passo 6

Com 1x tendendo a -infty , a expressão 2^1x tende a 0 , já que 2^-infty = 12^infty = 0 .

Passo 7

Substituindo na função f(x) , temos:
f(x) = 11 + 2^1x approx 11 + 0 = 1
Portanto, lim x 0^- f(x) = 1 .

Resposta

lim x 0^+ f(x) = 0 e lim x 0^- f(x) = 1

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