Derive:
(b) r(t)=(t^t,-sec (t),(2-t)^a), em que a>1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetor
r(t)=l(t^t,,-sec(t),,(2-t)^ar)
com a>1. Vamos usar diferenciação componente a componente, aplicando:
  1. Para t^t, reescrever como exponencial e usar regra da cadeia.
  2. Derivada de -sec(t) usando a derivada de sec(t).
  3. Regra da cadeia em (2-t)^a.

Passo 2

Para a primeira componente, defina
f(t)=t^t=e^tln t
Então
f'(t) =ddte^tln t =e^tln t,ddt(tln t) =e^tln t(ln t+1) =t^t(ln t+1)

Passo 3

A segunda componente é g(t)=-sec(t). Como
ddtsec(t)=sec(t)tan(t),
segue
g'(t)=-sec(t)tan(t)

Passo 4

A terceira componente é h(t)=(2-t)^a. Aplicando a regra da cadeia:
h'(t) =a(2-t)^,a-1cdotddt(2-t) =-a,(2-t)^,a-1

Passo 5

Juntando as derivadas das três componentes, obtemos
r,'(t) =l(t^t(ln t+1),,-sec(t)tan(t),,-a,(2-t)^,a-1r)

Resposta

r,'(t) =l(t^t(ln t+1),,-sec(t)tan(t),,-a,(2-t)^,a-1r)

Exercícios relacionados