Derive.
g(t)=3-2 t5 t+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função g(t) = 3 - 2t5t + 1 e precisamos derivá-la. Para fazer isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica de cálculo usada quando temos uma função que é a divisão de duas outras funções. Então, vamos precisar identificar o que está no numerador e no denominador e aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função:
  • Numerador: f(t) = 3 - 2t
  • Denominador: h(t) = 5t + 1
Para aplicar a regra do quociente, precisamos derivar cada uma dessas partes separadamente.

Passo 3

Agora, vamos derivar f(t) e h(t) :
  • Derivada de f(t) :
f'(t) = ddt(3 - 2t) = -2
  • Derivada de h(t) :
h'(t) = ddt(5t + 1) = 5

Passo 4

Com as derivadas em mãos, aplicamos a regra do quociente, que diz:
g'(t) = f'(t) cdot h(t) - f(t) cdot h'(t)[h(t)]^2
Substituindo os valores que encontramos:
g'(t) = (-2) cdot (5t + 1) - (3 - 2t) cdot 5(5t + 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Multiplicações no numerador:
-2 cdot (5t + 1) = -10t - 2
5 cdot (3 - 2t) = 15 - 10t
  1. Substituindo de volta:
g'(t) = (-10t - 2) - (15 - 10t)(5t + 1)^2
  1. Simplificando o numerador:
-10t - 2 - 15 + 10t = -17
(Os termos -10t e +10t se cancelam)
  1. Resultado final:
g'(t) = -17(5t + 1)^2

Resposta

A derivada da função é:
g'(t) = -17(5t + 1)^2

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