Derive.
G(u)=6 u^4-5 uu+1

Passo 1

Beleza! A gente tem que derivar a função G(u) = 6u^4 - 5uu + 1 . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente da Regra do Quociente. Pra resolver, vamos precisar identificar o numerador e o denominador da fração e então aplicar essa regra para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes: o numerador e o denominador. No nosso caso:
  • Numerador (f(u)): 6u^4 - 5u
  • Denominador (g(u)): u + 1

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Ela diz que se você tem uma função f(u)g(u) , a derivada G'(u) é dada por:
G'(u) = f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)[g(u)]^2
Então, precisamos encontrar as derivadas de f(u) e g(u) , que são f'(u) e g'(u) , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular f'(u) e g'(u) :
  • Derivada de f(u) = 6u^4 - 5u :
f'(u) = 24u^3 - 5
  • Derivada de g(u) = u + 1 :
g'(u) = 1

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente usando as derivadas que encontramos:
G'(u) = (24u^3 - 5)(u + 1) - (6u^4 - 5u)(1)(u + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
(24u^3 - 5)(u + 1) = 24u^4 + 24u^3 - 5u - 5
(6u^4 - 5u)(1) = 6u^4 - 5u
Numerador = (24u^4 + 24u^3 - 5u - 5) - (6u^4 - 5u) = 18u^4 + 24u^3 - 5
Então, a derivada fica:
G'(u) = 18u^4 + 24u^3 - 5(u + 1)^2

Resposta

A derivada de G(u) = 6u^4 - 5uu + 1 é:
G'(u) = 18u^4 + 24u^3 - 5(u + 1)^2

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