Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais).
l lim h 0 (2+h)^5-32h h= pm 0,5, pm 0,1, pm 0,01, pm 0,001, pm 0,0001

Passo 1

O enunciado pede a conjectura do limite
limhto0(2+h)^5-32h
usando valores numéricos para h=pm0,5, pm0,1, pm0,01, pm0,001 e pm0,0001. Esse problema envolve o conceito de quociente de diferença, que se aproxima da derivada da função f(x)=x^5 no ponto x=2.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença como
Q(h)=(2+h)^5-2^5h
Pelo binômio de Newton,
(2+h)^5=32+80h+80h^2+40h^3+10h^4+h^5,
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Q(h)=80+80h+40h^2+10h^3+h^4

Passo 3

Para h=pm0,5 e h=pm0,1 calculamos
Q(0,5)=131,312500 Q(-0,5)=48,812500
Q(0,1)=88,410100 Q(-0,1)=72,390100

Passo 4

Para h=pm0,01 e h=pm0,001 temos
Q(0,01)=80,804010 Q(-0,01)=79,203990
Q(0,001)=80,080040 Q(-0,001)=79,920040

Passo 5

Para h=pm0,0001 obtemos
Q(0,0001)=80,008000 Q(-0,0001)=79,992000

Passo 6

À medida que h se aproxima de zero, os valores de Q(h) convergem para 80. Conjecturamos, portanto, que o limite existe e vale 80.

Resposta

A conjectura do limite é 80.

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