Derive.
y=raizxraizx+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = raizxraizx+1
O conteúdo principal é derivação de funções compostas e quociente, ou seja, vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, note que raizx = x^1/2. Definimos
u = raizx = x^1/2
e calculamos
dudx = 12 x^-1/2 = 12raizx

Passo 3

Em seguida, escrevemos y em função de u:
y = uu+1
Para aplicar a regra do quociente, lembramos que se y = f(u)g(u), então
dydu = g(u),f'(u) - f(u),g'(u)[g(u)]^2
Aqui f(u)=u e g(u)=u+1, logo f'(u)=1 e g'(u)=1. Portanto,
dydu = (u+1)cdot 1 - ucdot 1(u+1)^2 = u+1 - u(u+1)^2 = 1(u+1)^2

Passo 4

Agora usamos a regra da cadeia para voltar a derivada em função de x:
dydx = dydu,dudx = 1(u+1)^2,cdot 12raizx
Como u=raizx, isso fica
dydx = 12raizx,(raizx+1)^2

Passo 5

Verificando se dá para simplificar mais: a expressão já está num formato claro e factorizado, mostrando bem as dependências em raizx e em (raizx+1).

Resposta

dydx = 12raizx,(raizx+1)^2

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