Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral arcsin x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral arcsin x,dx
usando a fórmula de integração por partes. Vamos usar
integral u,dv = u,v - integral v,du
e precisar da derivada de arcsin x e da primitiva de 1.

Passo 2

Escolhemos
u = arcsin x, dv = dx
Então
du = 1raiz1 - x^2,dx, v = integral dx = x

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral arcsin x,dx = u,v - integral v,du = xarcsin x - integral xcdot1raiz1 - x^2,dx

Passo 4

Para avaliar integral xraiz1 - x^2,dx fazemos a substituição
w = 1 - x^2 ;Longrightarrow; dw = -2x,dx
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integral xraiz1 - x^2,dx = -tfrac12 integral w^-tfrac12 ,dw = -raizw = -raiz1 - x^2
Substituindo de volta no resultado inicial:
integral arcsin x,dx = xarcsin x - l(-raiz1 - x^2r) = xarcsin x + raiz1 - x^2 + C

Resposta

integral arcsin x,dx = xarcsin x + raiz1 - x^2 + C

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