Derive.
J(u)=(1u+1u^2)(u+1u)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
J(u)=l(1u+1u^2r)l(u+1ur)
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto (se fosse o caso) e, mais simples ainda, vamos primeiro expandir e depois aplicar a regra de derivação termo a termo (regra da potência).

Passo 2

Expandimos J(u) multiplicando termo a termo:
J(u) =1ucdot u +1ucdot1u +1u^2cdot u +1u^2cdot1u

Passo 3

Simplificamos cada produto usando potências:
1ucdot u=1, 1ucdot1u=1u^2, 1u^2cdot u=1u, 1u^2cdot1u=1u^3
Logo,
J(u)=1+1u+1u^2+1u^3

Passo 4

Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência:
se f(u)=u^n então f'(u)=n,u^n-1, e constante some para zero.
ddul(1r)=0, ddul(u^-1r)=-1,u^-2, ddul(u^-2r)=-2,u^-3, ddul(u^-3r)=-3,u^-4
Portanto,
J'(u) =-1u^2 -2u^3 -3u^4

Passo 5

Para deixar mais compacto, colocamos sobre o mesmo denominador u^4:
-1u^2 =-u^2u^4, -2u^3 =-2uu^4, -3u^4=-3u^4,
logo
J'(u) =-u^2+2u+3u^4

Resposta

J'(u)=-u^2+2u+3u^4

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