Derive.
h(w)=(w^2+3 w)(w^-1-w^-4)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(w) = l(w^2 + 3wr)l(w^-1 - w^-4r)
Aqui vamos usar duas estratégias que dão no mesmo: aplicar a regra do produto diretamente ou primeiro expandir h(w) em potências de w e depois derivar termo a termo. A expansão costuma ser mais direta para evitar cálculo excessivo.

Passo 2

Expandindo
h(w) = w^2l(w^-1 - w^-4r) + 3wl(w^-1 - w^-4r)
= w^2-1 - w^2-4 + 3w^1-1 - 3w^1-4
= w^1 - w^-2 + 3w^0 - 3w^-3
= w - w^-2 + 3 - 3w^-3

Passo 3

Derivando termo a termo, lembrando que ddww^n=n,w^n-1:
ddw(w) = 1, ddw(-w^-2) = -(-2)w^-3=2w^-3,
ddw(3) = 0, ddw(-3w^-3) = -3cdot(-3)w^-4=9w^-4
Logo,
h'(w)=1 + 2w^-3 + 9w^-4

Passo 4

Se desejar, podemos combinar em um único quociente com denominador w^4:
h'(w) =1 + 2w^3 + 9w^4 =w^4w^4 + 2ww^4 + 9w^4 =w^4 + 2w + 9w^4

Resposta

h'(w)=1 + 2w^-3 + 9w^-4 ou h'(w)=w^4 + 2w + 9w^4

Exercícios relacionados