Derive.
y=sen theta cos theta

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=sinthetacostheta. Para isso vamos usar a regra do produto, além de conhecer as derivadas básicas das funções trigonométricas.

Passo 2

Pela regra do produto, se y=u(theta),v(theta) então
dydtheta=u'(theta),v(theta)+u(theta),v'(theta)
Aqui u(theta)=sintheta e v(theta)=costheta, logo
dydtheta=(sintheta)',costheta+sintheta,(costheta)'

Passo 3

Sabemos que
(sintheta)'=costheta, (costheta)'=-sintheta
Substituindo em dydtheta
dydtheta=costhetacdotcostheta+sinthetacdot(-sintheta)

Passo 4

Simplificando,
dydtheta=cos^2theta-sin^2theta
Para finalizar, usamos a identidade trigonométrica
cos2theta=cos^2theta-sin^2theta,
que mostra que

Passo 5

dydtheta=cos2theta

Resposta

dydtheta=cos2theta

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