Determine as derivadas que se pede em cada item;
d) y=raizx^2-1, y^prime prime e y^prime prime prime;

Passo 1

O enunciado nos dá
y = raizx^2 - 1 = (x^2 - 1)^tfrac12
e pede y'' e y'''. Vamos usar a regra da cadeia e, quando for útil, a regra do produto para derivar sucessivamente.

Passo 2

Derivando uma vez pelo expoente, aplicamos a regra da cadeia:
y' = 12 (x^2 - 1)^-tfrac12 cdot 2x = x,(x^2 - 1)^-tfrac12

Passo 3

Para achar y'', derivamos
y' = x,(x^2 - 1)^-tfrac12
usando a regra do produto com u = x e v = (x^2 - 1)^-tfrac12. Temos
u' = 1, v' = -tfrac12 (x^2 - 1)^-tfrac32cdot 2x = -x,(x^2 - 1)^-tfrac32
Logo,
y'' = u'v + uv' = (x^2 - 1)^-tfrac12 - x^2,(x^2 - 1)^-tfrac32 = x^2 - 1 - x^2(x^2 - 1)^tfrac32 = -1(x^2 - 1)^tfrac32

Passo 4

Para obter y''', derivamos
y'' = - (x^2 - 1)^-tfrac32
pela regra da cadeia:
y''' = -l(-tfrac32r)(x^2 - 1)^-tfrac52cdot 2x = 3x,(x^2 - 1)^-tfrac52

Resposta

y'' = -1(x^2 - 1)^tfrac32, y''' = 3x(x^2 - 1)^tfrac52

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