Determine a derivada das funções abaixo:
d) y=e^3 x arcsen(2 x);

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = e^3x,arcsin(2x)
Aqui vamos usar dois conceitos de cálculo diferencial: a regra do produto e a regra da cadeia (para derivar arcsin(2x)).

Passo 2

Pela regra do produto, se y = u(x),v(x) então
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Identificando
u(x) = e^3x, v(x) = arcsin(2x),
podemos escrever
y' = l(e^3xr)',arcsin(2x) + e^3x,l(arcsin(2x)r)'

Passo 3

Calculamos cada derivada separadamente:
  1. Para u(x)=e^3x, pela regra da cadeia:
l(e^3xr)' = 3,e^3x
  1. Para v(x)=arcsin(2x), aplicamos a derivada de arcsin(u) com u=2x:
l(arcsin(2x)r)' = u'raiz1 - u^2 = 2raiz1 - (2x)^2 = 2raiz1 - 4x^2

Passo 4

Substituindo em
y' = 3,e^3x,arcsin(2x) + e^3x,2raiz1 - 4x^2,
podemos fatorar e^3x:
y' = e^3x,l(3,arcsin(2x) + tfrac2raiz1 - 4x^2r)

Resposta

y' = e^3x,l(3,arcsin(2x) + 2raiz1 - 4x^2r)

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