Resolva as integrais abaixo.
integral raiz9-(x-1)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raiz9 - (x-1)^2,dx
Isso é uma integral do tipo integral raiza^2-u^2,du. Vamos primeiro centralizar o quadrado definindo
u = x - 1, du = dx,
de modo que a integral vire
integral raiz9 - u^2,du
O conteúdo aqui é a integração de raiza^2-u^2, que pode ser feita por substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazendo a substituição trigonométrica
u = 3sintheta, du = 3costheta,dtheta, raiz9 - u^2 = 3costheta,
temos
integral raiz9 - u^2,du = integral (3costheta),(3costheta,dtheta) =9integral cos^2theta,dtheta
Usando a identidade cos^2theta = tfrac1+cos2theta2,
9integral cos^2theta,dtheta = 92integral (1+cos2theta),dtheta = 92l(theta + sin2theta2r) + C

Passo 3

Voltemos a expressar tudo em função de u. Sabemos que
theta = arcsinl(tfracu3r), sin2theta = 2sinthetacostheta = 2l(tfracu3r)l(tfracraiz9-u^23r) = 2uraiz9-u^29
Logo
92l(theta + sin2theta2r) = 92arcsinl(tfracu3r) + 92cdot12cdot2uraiz9-u^29 = 92arcsinl(tfracu3r) + uraiz9-u^22 + C

Passo 4

Por fim, retornando à variável original x, onde u = x - 1, obtemos
integral raiz9 - (x-1)^2,dx = x-12raiz9 - (x-1)^2 + 92arcsin!l(tfracx-13r) + C

Resposta

boxedintegral raiz9 - (x-1)^2,dx = x-12raiz9 - (x-1)^2 + 92arcsin!l(tfracx-13r) + C

Exercícios relacionados