Derive:
r(t)=(tan t, 2^t t^2, 2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetor
r(t)=l(tan t,;2^tt^2,;2r).
Para isso vamos usar que a derivada de um vetor é a derivada componente a componente, além das regras de derivação: derivada de tan t, regra do produto e derivada de a^t, e a derivada de constante.

Passo 2

Derivada da primeira componente tan t.
Sabemos que
ddtl(tan tr)=sec^2t

Passo 3

Derivada da segunda componente 2^tt^2.
Aplicamos a regra do produto entre u(t)=2^t e v(t)=t^2:
ddtl(u,vr)=u',v+u,v'
Como
u'(t)=ddtl(2^tr)=2^tln2 e v'(t)=ddtl(t^2r)=2t,
segue
ddtl(2^tt^2r) =2^tln2;t^2+2^t;2t =2^tl(t^2ln2+2tr)

Passo 4

Derivada da terceira componente, que é constante 2.
ddt(2)=0

Resposta

r,'(t) =l(sec^2t,;2^tl(t^2ln2+2tr),;0r)

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