Resolva as integrais abaixo.
integral 1raizx^2+2 x+5 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral 1raizx^2+2x+5 ,dx
O conteúdo aqui é integrar uma função da forma 1raizquadrado+constante. Para resolver, vamos completar o quadrado no polinômio do radicando e usar a fórmula padrão
integral duraizu^2+a^2 =arsinh!l(uar)+C ou lnl|u+raizu^2+a^2r|+C

Passo 2

Complete o quadrado em x^2+2x+5. Observe que
x^2+2x+5 = (x+1)^2 +5 -1 = (x+1)^2 +4

Passo 3

Faça a substituição
u = x+1 Longrightarrow du = dx
Então a integral vira
integral 1raiz(x+1)^2+4,dx = integral 1raizu^2+2^2,du

Passo 4

Use a fórmula padrão para
integral duraizu^2+a^2 ;=; lnl|u+raizu^2+a^2r|+C com a=2
Logo,
integral duraizu^2+4 = lnl|u + raizu^2+4r| + C

Passo 5

Retorne à variável x usando u = x+1:
integral 1raizx^2+2x+5,dx = ln!l|,x+1 + raiz(x+1)^2+4r| + C

Resposta

boxed integral 1raizx^2+2x+5,dx = ln!l|x+1 + raiz(x+1)^2+4r| + C

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