Integre as seguintes funções vetoriais:
r(t)=t^2 i+1raizt j+1t k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para integrar uma função vetorial, que é basicamente uma função que tem componentes em diferentes direções (como i, j e k). O conteúdo aqui é de cálculo integral aplicado a vetores. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente na direção de i, que é t^2 .
A integral de t^2 em relação a t é:
integral t^2 , dt = t^33 + C1
Aqui, C1 é a constante de integração para a componente i.

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente na direção de j, que é 1raizt .
Lembrando que 1raizt pode ser escrito como t^-1/2 . A integral de t^-1/2 em relação a t é:
integral t^-1/2 , dt = 2 raizt + C2
Aqui, C2 é a constante de integração para a componente j.

Passo 4

Por fim, vamos integrar a componente na direção de k, que é 1t .
A integral de 1t em relação a t é:
integral 1t , dt = ln|t| + C3
Aqui, C3 é a constante de integração para a componente k.

Resposta

Juntando todas as componentes integradas, a integral da função vetorial r(t) é:
integral r(t) , dt = ( t^33 + C1 ) i + ( 2 raizt + C2 ) j + ( ln|t| + C3 ) k
Onde C1 , C2 e C3 são as constantes de integração para cada componente.

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