Determine os limites:
lim t 0(e^t-1t,(1+t)^5 / t, tsin (2 t)). Resp.: (1, e^5, 1 / 2)

Passo 1

O enunciado pede os três limites quando tto0:
e^t-1t,
(1+t)^5/t e
tsin(2t).
O conteúdo aqui é cálculo de limites de formas indeterminadas usando séries de Taylor ou limites clássicos (derivada exponencial, limxto0ln(1+x)x e limxto0sin xx).

Passo 2

Para limtto0e^t-1t, lembramos que a expansão de Taylor de e^t em torno de 0 é
e^t = 1 + t + tfract^22! + cdots,
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e^t-1t = 1 + t + tfract^22 + cdots -1t = 1 + tfract2 + cdots xrightarrowtto0 1

Passo 3

Para limtto0(1+t)^5/t, usamos o logaritmo:
lnl((1+t)^5/tr) = 5t,ln(1+t)
Sabemos que limtto0ln(1+t)t=1, então
limtto0lnl((1+t)^5/tr) = 5 cdot limtto0ln(1+t)t = 5
Exponenciando,
limtto0(1+t)^5/t = e^5

Passo 4

Para limtto0tsin(2t), usamos o limite clássico limxto0sin xx=1. Escrevemos
tsin(2t) = 1sin(2t)t = 12cdotsin(2t)2t xrightarrowtto0 12cdot1 = tfrac12

Resposta

l(1,;e^5,;tfrac12r)

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