Determine os limites: lim t 0(e^t-1t,(1+t)^5 / t, tsin (2 t)). Resp.: (1, e^5, 1 / 2) Passo 1O enunciado pede os três limites quando tto0: e^t-1t, (1+t)^5/t e tsin(2t). O conteúdo aqui é cálculo de limites de formas indeterminadas usando séries de Taylor ou limites clássicos (derivada exponencial, limxto0ln(1+x)x e limxto0sin xx). Passo 2Para limtto0e^t-1t, lembramos que a expansão de Taylor de e^t em torno de 0 é e^t = 1 + t + tfract^22! + cdots, logo e^t-1t = 1 + t + tfract^22 + cdots -1t = 1 + tfract2 + cdots xrightarrowtto0 1 Passo 3Para limtto0(1+t)^5/t, usamos o logaritmo: lnl((1+t)^5/tr) = 5t,ln(1+t) Sabemos que limtto0ln(1+t)t=1, então limtto0lnl((1+t)^5/tr) = 5 cdot limtto0ln(1+t)t = 5 Exponenciando, limtto0(1+t)^5/t = e^5 Passo 4Para limtto0tsin(2t), usamos o limite clássico limxto0sin xx=1. Escrevemos tsin(2t) = 1sin(2t)t = 12cdotsin(2t)2t xrightarrowtto0 12cdot1 = tfrac12 Resposta l(1,;e^5,;tfrac12r) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine os limites: lim t 0(t sin 1t, 2 cos t, 2+e^tan t). Resp.: (0,2,3). Determine o domínio das funções vetoriais: r=ln (t^2-9) i+arctg t j+sinh (t^2) k. Resp.: t in R / t<-3 ou t>3. O divergente de F é dado por: d i v F=partialpartial x(2 x y+z^2)+partialpartial y(x^2+2 y z)+partialpartial z(y^2+2 x z) Derive: r(t)=(t e^t,-sin t cos t, sin t).