Derive:
g(t)=e^t-e^-tt

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função g(t) = e^t - e^-tt . Isso está no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente lidando com derivadas de funções que são quocientes de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos trabalhar com a Regra do Quociente. A função g(t) é formada por duas partes:
  • Numerador: e^t - e^-t
  • Denominador: t

Passo 3

A Regra do Quociente nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que é o quociente de duas outras funções. Se temos uma função f(t)h(t) , a derivada é dada por:
( f(t)h(t) )' = f'(t) cdot h(t) - f(t) cdot h'(t)[h(t)]^2
Isso significa que a derivada da função quociente depende das derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Vamos agora encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador f(t) = e^t - e^-t :
f'(t) = ddt(e^t) - ddt(e^-t) = e^t + e^-t
  • Derivada do denominador h(t) = t :
h'(t) = ddt(t) = 1

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente com as derivadas que encontramos:
g'(t) = f'(t) cdot h(t) - f(t) cdot h'(t)[h(t)]^2 = (e^t + e^-t) cdot t - (e^t - e^-t) cdot 1t^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
g'(t) = t cdot e^t + t cdot e^-t - e^t + e^-tt^2 = (t - 1)e^t + (t + 1)e^-tt^2

Resposta

A derivada da função é:
g'(t) = (t - 1)e^t + (t + 1)e^-tt^2

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