Derive.
f(t)=2 t4+t^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(t)=2t4+t^2. O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente para derivadas, que serve quando temos uma função escrita como u(t)v(t).

Passo 2

Identificamos as partes do quociente: o numerador é u(t)=2t e o denominador é v(t)=4+t^2. Agora calculamos as derivadas de cada parte:
u'(t)=ddt(2t)=2,
v'(t)=ddt(4+t^2)=2t

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(t)=u'(t),v(t)-u(t),v'(t)l(v(t)r)^2

Passo 4

Substituímos u(t), u'(t), v(t) e v'(t) na fórmula:
f'(t) =2,(4+t^2)-l(2tr),(2t)(4+t^2)^2

Passo 5

No numerador fazemos a operação:
2,(4+t^2)-2tcdot2t =8+2t^2-4t^2 =8-2t^2

Passo 6

Portanto a derivada simplificada é
f'(t)=8-2t^2(4+t^2)^2,
que também pode ser escrita como
f'(t)=2,(4-t^2)(4+t^2)^2

Resposta

f'(t)=8-2t^2(4+t^2)^2 ou f'(t)=2(4-t^2)(4+t^2)^2

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