Derive.
y=x+1x^3+x-2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = x+1x^3+x-2
e pede a derivada y'. O conteúdo é aplicação da regra do quociente, em que, se y = dfracu(x)v(x), então
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2

Passo 2

Vamos identificar as partes do quociente:
u(x) = x+1, v(x) = x^3+x-2
Logo, as derivadas são
u'(x) = 1, v'(x) = 3x^2+1

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, temos
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 = 1cdotl(x^3+x-2r) - (x+1)cdotl(3x^2+1r)l(x^3+x-2r)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
1cdot(x^3+x-2) - (x+1)(3x^2+1) = x^3+x-2 - l(3x^3+3x^2+x+1r) = -2x^3 -3x^2 -3

Passo 5

Substituindo esse resultado, obtemos a forma final da derivada:
y' = -l(2x^3+3x^2+3r)l(x^3+x-2r)^2

Resposta

y' = -2x^3+3x^2+3l(x^3+x-2r)^2

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