Exercício 8. Esboce a curva (x^2+y^2)^3=4 x^2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada pela equação
l(x^2+y^2r)^3=4x^2y^2
O conteúdo aqui é estudo de curvas no plano e vamos usar coordenadas polares para facilitar o esboço.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta,
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(x^2+y^2)^3 = (r^2)^3 = r^6,
e
4x^2y^2 = 4(rcostheta)^2(rsintheta)^2 = 4r^4cos^2theta,sin^2theta
Substituindo na equação vai dar
r^6 = 4r^4cos^2theta,sin^2theta
Para rneq0 dividimos por r^4 e obtemos
r^2 = 4cos^2theta,sin^2theta = (,2sinthetacostheta,)^2 = sin^2(2theta)
Como r>=0, concluímos
r = l|sin(2theta)r|

Passo 3

Analisando r = |sin(2theta)|:
— Zeros de r ocorrem quando sin(2theta)=0, isto é,
2theta = kpi implies theta = kpi2, kinZ,
que são as direções dos eixos x e y.
— Máximos de r ocorrem quando |sin(2theta)|=1, isto é,
2theta = pi2 + kpi implies theta = pi4 + kpi2,
e nesse caso rmax=1.

Passo 4

Essas propriedades dão uma rosa de quatro pétalas, cada pétala centrada nos ângulos
theta = tfracpi4,tfrac3pi4,tfrac5pi4,tfrac7pi4
e de comprimento r=1. A curva é simétrica em relação aos eixos x e y.

Resposta

A curva é a rosa de quatro pétalas dada por
r = l|sin(2theta)r|,
com pétalas de extensão máxima 1 nos ângulos
theta = tfracpi4 + tfrackpi2, k=0,1,2,3.

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