Encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).
f(x)=x^4 e^x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função
f(x)=x^4e^x
Para isso vamos usar a regra do produto, que diz que
(ucdot v)' = u',v + u,v',
e, no segundo passo, simplificar e aplicar de novo a mesma regra para obter f''(x).

Passo 2

Aplicando a regra do produto a f(x)=x^4e^x, tomamos
u(x)=x^4, v(x)=e^x,
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u'(x)=4x^3, v'(x)=e^x,
e
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =4x^3e^x+x^4e^x

Passo 3

Fatorando e^xx^3 em f'(x), obtemos
f'(x)=x^3e^x(4+x)

Passo 4

Para f''(x) usemos novamente a regra do produto em
f'(x)=e^x,g(x), g(x)=x^3(x+4)=x^4+4x^3
Temos
(e^x)'=e^x, g'(x)=4x^3+12x^2,
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f''(x)=e^xg(x)+e^xg'(x) =e^xl(x^4+4x^3r)+e^xl(4x^3+12x^2r)

Passo 5

Somando os termos dentro do parêntese e fatorando e^xx^2, fica
f''(x) =e^xl(x^4+8x^3+12x^2r) =x^2e^xl(x^2+8x+12r)

Resposta

f'(x)=x^3e^x(x+4), f''(x)=x^2e^x(x^2+8x+12)

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