Utilize uma série conhecida para encontrar uma série de potências para 1x-2 exibindo o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma série de potências para a função 1x-2 . Para isso, vamos usar uma série que a gente já conhece bem, a série geométrica. Vamos precisar manipular um pouco a fórmula dela para encaixar na função que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 1x-2 de um jeito que se pareça mais com a forma da série geométrica, que é 11 - u . Então, vamos puxar um fator para fora:
1x-2 = 1- (2 - x) = -12 - x
Agora, vamos separar o 2:
-12 - x = -12 (1 - x2) = -12 cdot 11 - x2

Passo 3

Legal, agora temos a função na forma 11 - u , onde u = x2 . Sabemos que a série geométrica é:
11 - u = sumn=0^infty u^n para |u| < 1
Vamos aplicar isso aqui:
-12 cdot 11 - x2 = -12 sumn=0^infty (x2)^n

Passo 4

Agora, vamos escrever a série completa:
1x-2 = -12 (1 + x2 + (x2)^2 + (x2)^3 + cdots )
Simplificando, ficaria assim:
1x-2 = -12 - x4 - x^28 - x^316 - cdots

Passo 5

Por fim, precisamos do intervalo de convergência. Lembra que a série geométrica converge quando |u| < 1 . Aqui, u = x2 , então:
| x2 | < 1 implies |x| < 2

Resposta

A série de potências para 1x-2 é:
1x-2 = -12 - x4 - x^28 - x^316 - cdots
E o intervalo de convergência dessa série é |x| < 2 .

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