Utilize uma série conhecida para encontrar uma série de potências para exibindo o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma série de potências para a função . Para isso, vamos usar uma série que a gente já conhece bem, a série geométrica. Vamos precisar manipular um pouco a fórmula dela para encaixar na função que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que se pareça mais com a forma da série geométrica, que é . Então, vamos puxar um fator para fora:
Agora, vamos separar o 2:
Passo 3
Legal, agora temos a função na forma , onde . Sabemos que a série geométrica é:
Vamos aplicar isso aqui:
Passo 4
Agora, vamos escrever a série completa:
Simplificando, ficaria assim:
Passo 5
Por fim, precisamos do intervalo de convergência. Lembra que a série geométrica converge quando . Aqui, , então:
Resposta
A série de potências para 1x-2 é:
1x-2 = -12 - x4 - x^28 - x^316 - cdots
E o intervalo de convergência dessa série é |x| < 2 .