Derive.
33. Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal?
f(x)=x+2 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para determinar os pontos onde o gráfico de f tem reta tangente horizontal. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x+2\operatorname{sen} x.
  • Pergunta: “Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal?”

Passo 2

O que significa “reta tangente horizontal”?
  • Na linguagem de cálculo, a reta tangente a uma curva em um ponto é horizontal quando a inclinação da tangente é zero.
  • A inclinação da tangente em x é dada pela derivada f'(x). Portanto, precisamos encontrar os x tais que
f'(x)=0.

Passo 3

Vamos derivar f(x)=x+2\operatorname{sen} x passo a passo e lembrar as regras básicas:
  • A derivada de x em relação a x é 1.
  • A derivada de \operatorname{sen} x em relação a x é \cos x.
  • A constante multiplicativa sai na derivada (regra do fator constante).
Aplicando essas regras:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+2\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)=1+2\cos x.

Passo 4

Agora impor a condição de tangente horizontal:
1+2\cos x=0.
Isolando \cos x:
\cos x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Resolver \cos x=-\tfrac{1}{2}. Usando o círculo trigonométrico ou fatos conhecidos:
  • \cos x=-\tfrac{1}{2} ocorre nos ângulos x=\tfrac{2\pi}{3} e x=\tfrac{4\pi}{3} no intervalo [0,2\pi).
  • Como \cos x é periódica de período 2\pi, as soluções gerais são obtidas somando 2k\pi ( k\in\mathbb{Z}) a essas soluções básicas.
Portanto as soluções gerais são
x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi \qquad\text{e}\qquad x=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.
Observação alternativa (forma compacta): como, para \alpha=\tfrac{2\pi}{3}, as soluções de \cos x=\cos\alpha são x=\pm\alpha+2k\pi, também se pode escrever
x=\pm\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
que é equivalente à expressão anterior.

Passo 6

Verificação rápida com um exemplo (checar se faz sentido na prova): para k=0,
f'\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=1+2\cos\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=1+2\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=0,
o que confirma que a tangente é horizontal nesses pontos. Mesma verificação vale para x=\tfrac{4\pi}{3} e para todos os k por periodicidade.

Resposta

x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
x=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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