Derive.
33. Para quais valores de
o gráfico de
tem uma reta tangente horizontal?
33. Para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os pontos onde o gráfico de
tem reta tangente horizontal. Informações fornecidas:
- A função é
. - Pergunta: “Para quais valores de
o gráfico de tem uma reta tangente horizontal?”
Passo 2
O que significa “reta tangente horizontal”?
- Na linguagem de cálculo, a reta tangente a uma curva em um ponto é horizontal quando a inclinação da tangente é zero.
- A inclinação da tangente em
é dada pela derivada . Portanto, precisamos encontrar os tais que
Passo 3
Vamos derivar
passo a passo e lembrar as regras básicas:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A constante multiplicativa sai na derivada (regra do fator constante).
Aplicando essas regras:
Passo 4
Agora impor a condição de tangente horizontal:
Isolando
:
Passo 5
Resolver
. Usando o círculo trigonométrico ou fatos conhecidos:
-
ocorre nos ângulos e no intervalo . - Como
é periódica de período , as soluções gerais são obtidas somando ( ) a essas soluções básicas.
Portanto as soluções gerais são
Observação alternativa (forma compacta): como, para
, as soluções de
são
, também se pode escrever
que é equivalente à expressão anterior.
Passo 6
Verificação rápida com um exemplo (checar se faz sentido na prova): para
,
o que confirma que a tangente é horizontal nesses pontos. Mesma verificação vale para
e para todos os
por periodicidade.