- Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (ou uma familiar).
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para derivar (ou justificar) duas identidades trigonométricas:
(a)
(b)
(a)
(b)
Não há outros dados numéricos; a ideia é partir das definições básicas das funções trigonométricas (em um triângulo retângulo ou no círculo unitário) e obter cada identidade. Vou listar claramente o que vou provar: mostrar que as igualdades acima são verdadeiras sempre que as expressões estejam bem definidas (ou seja, quando não houver divisão por zero).
Passo 2
Definição em um triângulo retângulo — preparação visual e notação. Considere um triângulo retângulo com um ângulo agudo
. Denotemos as faces relativas a esse ângulo por:
-
, -
, -
.
Por definição (razões trigonométricas em triângulo retângulo):
Aqui cada variável significa:
-
é o comprimento do cateto oposto ao ângulo , -
é o comprimento do cateto adjacente ao ângulo , -
é o comprimento da hipotenusa (sempre ).
Observação importante sobre domínio: para escrever
ou
precisamos que
(caso contrário haveria divisão por zero). Em termos do triângulo isso significa
— ou, no círculo unitário, que a coordenada
-do ponto não seja zero.
Passo 3
Derivação da identidade (a) usando as razões do triângulo:
Partimos de
Partimos de
Agora calculamos a razão
:
Na linha do meio usei a regra de divisão de frações:
. As ocorrências de
simplificam-se porque
. Mas
é exatamente a definição de
. Portanto
valendo quando
. Isso prova (a).
Passo 4
Comentário alternativo (intuição pelo círculo unitário, para fixar a ideia). No círculo unitário, o ponto correspondente ao ângulo
tem coordenadas
. Se
a tangente pode ser vista como a inclinação da reta do raio:
porque é
onde
e
. É a mesma conta, só com outro desenho.
Passo 5
Derivação da identidade (b). Pela definição de secante em triângulo retângulo usamos a relação recíproca:
Como já temos
, o recíproco de
é
Logo
novamente válido quando
. Isso prova (b).
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para fixar (não essenciais, mas bons para conferir):
- Triângulo
- - (oposto , adjacente , hipotenusa ): Verifica-se que e .
Resposta
(a)
(b)
(b)