1. Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (ou uma familiar).
    (a) \operatorname{tg} x=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}
    (b) \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar (ou justificar) duas identidades trigonométricas:
(a) \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}
(b) \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}
Não há outros dados numéricos; a ideia é partir das definições básicas das funções trigonométricas (em um triângulo retângulo ou no círculo unitário) e obter cada identidade. Vou listar claramente o que vou provar: mostrar que as igualdades acima são verdadeiras sempre que as expressões estejam bem definidas (ou seja, quando não houver divisão por zero).

Passo 2

Definição em um triângulo retângulo — preparação visual e notação. Considere um triângulo retângulo com um ângulo agudo \,x. Denotemos as faces relativas a esse ângulo por:
  • \text{oposto}=a,
  • \text{adjacente}=b,
  • \text{hipotenusa}=c.
Por definição (razões trigonométricas em triângulo retângulo):
\operatorname{sen} x=\frac{a}{c},\qquad \cos x=\frac{b}{c},\qquad \operatorname{tg} x=\frac{a}{b}.
Aqui cada variável significa:
  • a é o comprimento do cateto oposto ao ângulo x,
  • b é o comprimento do cateto adjacente ao ângulo x,
  • c é o comprimento da hipotenusa (sempre c>0).
Observação importante sobre domínio: para escrever \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} ou \dfrac{1}{\cos x} precisamos que \cos x\neq 0 (caso contrário haveria divisão por zero). Em termos do triângulo isso significa b\neq0 — ou, no círculo unitário, que a coordenada x-do ponto não seja zero.

Passo 3

Derivação da identidade (a) usando as razões do triângulo:
Partimos de
\operatorname{sen} x=\frac{a}{c} \qquad\text{e}\qquad \cos x=\frac{b}{c}.
Agora calculamos a razão \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}:
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}} = \frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b} = \frac{a}{b}.
Na linha do meio usei a regra de divisão de frações: \dfrac{p/q}{r/s} = \dfrac{p}{q}\cdot\dfrac{s}{r}. As ocorrências de c simplificam-se porque c\neq0. Mas \dfrac{a}{b} é exatamente a definição de \operatorname{tg} x. Portanto
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} x,
valendo quando \cos x\neq0. Isso prova (a).

Passo 4

Comentário alternativo (intuição pelo círculo unitário, para fixar a ideia). No círculo unitário, o ponto correspondente ao ângulo x tem coordenadas (\cos x,\operatorname{sen} x). Se \cos x\neq0 a tangente pode ser vista como a inclinação da reta do raio: \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} porque é \dfrac{y}{x} onde x=\cos x e y=\operatorname{sen} x. É a mesma conta, só com outro desenho.

Passo 5

Derivação da identidade (b). Pela definição de secante em triângulo retângulo usamos a relação recíproca:
\operatorname{sec} x=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{adjacente}}=\frac{c}{b}.
Como já temos \cos x=\dfrac{b}{c}, o recíproco de \cos x é
\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\dfrac{b}{c}}=\frac{c}{b}.
Logo
\frac{1}{\cos x}=\frac{c}{b}=\operatorname{sec} x,
novamente válido quando \cos x\neq0. Isso prova (b).

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar (não essenciais, mas bons para conferir):
  • Triângulo 3- 4- 5 (oposto a=3, adjacente b=4, hipotenusa c=5): \operatorname{sen} x=\frac{3}{5},\quad \cos x=\frac{4}{5},\quad \operatorname{tg} x=\frac{3}{4},\quad \operatorname{sec} x=\frac{5}{4}.Verifica-se que \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}=\dfrac{(3/5)}{(4/5)}=\dfrac{3}{4}=\operatorname{tg} x e \dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{4/5}=\dfrac{5}{4}=\operatorname{sec} x.

Resposta

(a) \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}
(b) \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}

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