Derive.
34. Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal?
f(x)=e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=e^{x}\cos x.
A pergunta é: para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=e^{x}\cos x.
  • Precisamos encontrar todos os pontos x em que a tangente é horizontal (ou seja, onde a derivada é zero), considerando o domínio natural da função.

Passo 2

O que significa “reta tangente horizontal”?
  • Em termos de derivada: a reta tangente ao gráfico de f em um ponto x é horizontal quando a derivada f'(x) é igual a zero.
  • Portanto procura-se as soluções da equação f'(x)=0, desde que f' exista nesse ponto.
Também é importante verificar que f é diferenciável em todo \mathbb{R}: a função e^{x} é diferenciável em todo \mathbb{R} e \cos x também, e o produto de funções diferenciáveis é diferenciável. Logo f' existe para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Lembra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então (uv)' = u'v + uv'. Aqui podemos escolher
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\cos x.
As derivadas conhecidas são
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Passo 4

Calculemos f'(x) usando a regra do produto passo a passo:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=e^{x}\cos x + e^{x}(-\sin x).
Agrupando termos:
f'(x)=e^{x}\cos x - e^{x}\sin x.
Fatorando e^{x} (é uma coisa prática porque aparece em ambos os termos):
f'(x)=e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr).

Passo 5

Agora resolvemos f'(x)=0. Temos
e^{x}\bigl(\cos x - \sin x\bigr)=0.
Observação importante: \,e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}. Como e^{x} nunca é zero, a única maneira desta expressão ser zero é que o fator entre parênteses seja zero. Portanto buscamos as soluções de
\cos x - \sin x = 0.

Passo 6

Resolver \cos x - \sin x = 0 é o mesmo que
\cos x = \sin x.
Dividindo ambos os lados por \cos x (isso é válido quando \cos x\neq0; se \cos x=0 não teria igualdade com \sin x exceto em caso impossível simultâneo), obtemos
1 = \tan x.
A solução geral da equação \tan x = 1 é
x = \arctan(1) + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Como \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}, concluímos que
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
(Verificação rápida: em x=\dfrac{\pi}{4} temos \cos x=\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, a diferença é zero; em x=\dfrac{\pi}{4}+\pi ambos os senos e cossenos mudam de sinal mantendo a igualdade.)

Passo 7

Interpretação final e dica prática para prova: sempre calcule f'(x), fatorize se possível e elimine fatores que nunca são zero (como e^{x}). Em seguida reduza a uma equação trigonométrica simples, que se resolve lembrando a periodicidade da tangente ( \pi). Se quiser checar em um ponto, substitua na expressão f'(x)=e^{x}(\cos x - \sin x) para confirmar que dá zero.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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