Derive.
34. Para quais valores de
o gráfico de
tem uma reta tangente horizontal?
34. Para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
A pergunta é: para quais valores de
o gráfico de
tem uma reta tangente horizontal?
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisamos encontrar todos os pontos
em que a tangente é horizontal (ou seja, onde a derivada é zero), considerando o domínio natural da função.
Passo 2
O que significa “reta tangente horizontal”?
- Em termos de derivada: a reta tangente ao gráfico de
em um ponto é horizontal quando a derivada é igual a zero. - Portanto procura-se as soluções da equação
, desde que exista nesse ponto.
Também é importante verificar que
é diferenciável em todo
: a função
é diferenciável em todo
e
também, e o produto de funções diferenciáveis é diferenciável. Logo
existe para todo
.
Passo 3
Lembra do produto: se
e
são diferenciáveis, então
. Aqui podemos escolher
As derivadas conhecidas são
Passo 4
Calculemos
usando a regra do produto passo a passo:
Agrupando termos:
Fatorando
(é uma coisa prática porque aparece em ambos os termos):
Passo 5
Agora resolvemos
. Temos
Observação importante:
para todo
. Como
nunca é zero, a única maneira desta expressão ser zero é que o fator entre parênteses seja zero. Portanto buscamos as soluções de
Passo 6
Resolver
é o mesmo que
Dividindo ambos os lados por
(isso é válido quando
; se
não teria igualdade com
exceto em caso impossível simultâneo), obtemos
A solução geral da equação
é
Como
, concluímos que
(Verificação rápida: em
temos
, a diferença é zero; em
ambos os senos e cossenos mudam de sinal mantendo a igualdade.)
Passo 7
Interpretação final e dica prática para prova: sempre calcule
, fatorize se possível e elimine fatores que nunca são zero (como
). Em seguida reduza a uma equação trigonométrica simples, que se resolve lembrando a periodicidade da tangente (
). Se quiser checar em um ponto, substitua na expressão
para confirmar que dá zero.