Encontre
e
.
49.
49.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as duas primeiras derivadas:
e
.
Informações relevantes fornecidas:
-
e são constantes (números fixos). - A função é produto de duas funções de
: e . - Pedimos explicitamente a primeira derivada
e a segunda derivada .
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Regra do produto: se
, então
ou seja, deriva-se a primeira mantendo a segunda e soma-se a primeira mantida vezes a derivada da segunda.
- Regra da cadeia (para função composta): se
, então
- Derivadas básicas que vamos usar:
- Para
, a derivada é , porque a derivada de é . - Para
, a derivada é , aplicando a regra da cadeia (derivada de é e multiplicamos pela derivada de , que é ).
- Para
Passo 3
Aplicando a regra do produto a
. Identificamos:
Derivadas individuais:
Agora use a regra do produto:
Passo 4
Substituindo
na fórmula:
Fatorando
(que é conveniente e padrão em prova):
Passo 5
Agora vamos achar
. Partimos da expressão factorizada
Aplicamos novamente a regra do produto a
:
Como
, obtemos
Passo 6
Calculamos
. Lembre que
Derivando termo a termo e usando regra da cadeia:
Portanto
Passo 7
Agora compute
. Substituindo:
Somando com
:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Substituindo de volta em
, obtemos a forma final simplificada: