Encontre y^{\prime} e y^{\prime \prime}.
49. y=e^{\alpha x} \operatorname{sen} \beta x

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=e^{\alpha x}\operatorname{sen} \beta x e pede as duas primeiras derivadas: \displaystyle y' e \displaystyle y''.
Informações relevantes fornecidas:
  • \displaystyle \alpha e \displaystyle \beta são constantes (números fixos).
  • A função é produto de duas funções de x: \displaystyle e^{\alpha x} e \displaystyle \operatorname{sen}(\beta x).
  • Pedimos explicitamente a primeira derivada \displaystyle y' e a segunda derivada \displaystyle y''.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Regra do produto: se \displaystyle y=u(x)\,v(x), então
\displaystyle y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x),
ou seja, deriva-se a primeira mantendo a segunda e soma-se a primeira mantida vezes a derivada da segunda.
  • Regra da cadeia (para função composta): se \displaystyle f(x)=F(g(x)), então
\displaystyle f'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x).
  • Derivadas básicas que vamos usar:
    • Para \displaystyle u(x)=e^{\alpha x}, a derivada é \displaystyle u'(x)=\alpha e^{\alpha x}, porque a derivada de \displaystyle e^{u} é \displaystyle u' e^{u}.
    • Para \displaystyle v(x)=\operatorname{sen}(\beta x), a derivada é \displaystyle v'(x)=\beta \cos(\beta x), aplicando a regra da cadeia (derivada de \operatorname{sen} é \cos e multiplicamos pela derivada de \beta x, que é \beta).

Passo 3

Aplicando a regra do produto a \displaystyle y=e^{\alpha x}\operatorname{sen}(\beta x). Identificamos:
\displaystyle u(x)=e^{\alpha x},\qquad v(x)=\operatorname{sen}(\beta x).
Derivadas individuais:
\displaystyle u'(x)=\alpha e^{\alpha x}, \qquad \displaystyle v'(x)=\beta\cos(\beta x).
Agora use a regra do produto:
\displaystyle y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 4

Substituindo u, u', v, v' na fórmula:
\displaystyle y' = \alpha e^{\alpha x}\operatorname{sen}(\beta x) + e^{\alpha x}\cdot\beta\cos(\beta x).
Fatorando e^{\alpha x} (que é conveniente e padrão em prova):
\displaystyle y' = e^{\alpha x}\bigl(\alpha\operatorname{sen}(\beta x) + \beta\cos(\beta x)\bigr).

Passo 5

Agora vamos achar \displaystyle y''. Partimos da expressão factorizada
\displaystyle y' = e^{\alpha x}\,A(x), \qquad\text{onde}\qquad \displaystyle A(x)=\alpha\operatorname{sen}(\beta x)+\beta\cos(\beta x).
Aplicamos novamente a regra do produto a \displaystyle y' = e^{\alpha x}\,A(x):
\displaystyle y'' = \bigl(e^{\alpha x}\bigr)'\,A(x) + e^{\alpha x}\,A'(x).
Como \bigl(e^{\alpha x}\bigr)'=\alpha e^{\alpha x}, obtemos
\displaystyle y'' = \alpha e^{\alpha x}A(x) + e^{\alpha x}A'(x) = e^{\alpha x}\bigl(\alpha A(x) + A'(x)\bigr).

Passo 6

Calculamos \displaystyle A'(x). Lembre que
\displaystyle A(x)=\alpha\operatorname{sen}(\beta x)+\beta\cos(\beta x).
Derivando termo a termo e usando regra da cadeia:
\displaystyle A'(x)=\alpha\cdot(\beta\cos(\beta x))+\beta\cdot(-\beta\operatorname{sen}(\beta x)).
Portanto
\displaystyle A'(x)=\alpha\beta\cos(\beta x)-\beta^2\operatorname{sen}(\beta x).

Passo 7

Agora compute \displaystyle \alpha A(x)+A'(x). Substituindo:
\displaystyle \alpha A(x)=\alpha\bigl(\alpha\operatorname{sen}(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\bigr)=\alpha^2\operatorname{sen}(\beta x)+\alpha\beta\cos(\beta x).
Somando com \displaystyle A'(x):
\displaystyle \alpha A(x)+A'(x) = \bigl(\alpha^2\operatorname{sen}(\beta x)+\alpha\beta\cos(\beta x)\bigr) + \bigl(\alpha\beta\cos(\beta x)-\beta^2\operatorname{sen}(\beta x)\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
\displaystyle \alpha A+A'=(\alpha^2-\beta^2)\operatorname{sen}(\beta x)+2\alpha\beta\cos(\beta x).

Passo 8

Substituindo de volta em \displaystyle y''=e^{\alpha x}\bigl(\alpha A+A'\bigr), obtemos a forma final simplificada:
\displaystyle y'' = e^{\alpha x}\bigl((\alpha^2-\beta^2)\operatorname{sen}(\beta x)+2\alpha\beta\cos(\beta x)\bigr).

Resposta

\displaystyle y' = e^{\alpha x}\bigl(\alpha\operatorname{sen}(\beta x)+\beta\cos(\beta x)\bigr)
\displaystyle y'' = e^{\alpha x}\bigl((\alpha^2-\beta^2)\operatorname{sen}(\beta x)+2\alpha\beta\cos(\beta x)\bigr)

Exercícios relacionados