Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
53.
53.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A função
. - O ponto onde queremos a reta tangente:
.
O que é pedido:
- Encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto
.
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): para achar a reta tangente em um ponto precisamos do coeficiente angular (inclinação) da reta naquele ponto, que é a derivada da função avaliada em
. Depois usamos a forma ponto‑inclinação da reta:
onde
é o ponto dado e
é a derivada em
. Aqui
e
. Vou calcular
.
Passo 3
Lembrete: regra da cadeia (explicação didática)
- Se
, a derivada é dada por
Explicando: a derivada da função externa
avaliada na interna
é
; em seguida multiplicamos pela derivada da função interna
.
Exemplo curto para fixar: se , então
,
e
Exemplo curto para fixar: se
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso:
- Tome
. Então . - A função externa é
, cuja derivada é .
Portanto a derivada da função é
Passo 5
Agora avaliamos a derivada em
:
Calculemos os valores:
-
. -
. -
.
Substituindo:
Logo o coeficiente angular da reta tangente no ponto é
.
Passo 6
Fórmula da reta tangente (forma ponto‑inclinação):
Aqui temos
,
e
. Substituindo esses valores obtemos a equação da reta tangente (coloco a forma final na seção de resposta).