Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
53. y=\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x), \quad(\pi, 0)

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A função y=\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x).
  • O ponto onde queremos a reta tangente: (\pi,0).
O que é pedido:
  • Encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto (\pi,0).

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): para achar a reta tangente em um ponto precisamos do coeficiente angular (inclinação) da reta naquele ponto, que é a derivada da função avaliada em x=\pi. Depois usamos a forma ponto‑inclinação da reta:
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto dado e m é a derivada em x_{0}. Aqui x_{0}=\pi e y_{0}=0. Vou calcular m=y'(\pi).

Passo 3

Lembrete: regra da cadeia (explicação didática)
  • Se y=\operatorname{sen}(u(x)), a derivada é dada por
y'=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Explicando: a derivada da função externa \operatorname{sen}(\cdot) avaliada na interna u(x) é \cos(u(x)); em seguida multiplicamos pela derivada da função interna u'(x).
Exemplo curto para fixar: se y=\operatorname{sen}(x^{2}), então u(x)=x^{2}, u'(x)=2x e
y'=\cos(x^{2})\cdot 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso:
  • Tome u(x)=\operatorname{sen} x. Então u'(x)=\cos x.
  • A função externa é \operatorname{sen}(u), cuja derivada é \cos(u).
Portanto a derivada da função é
y'=\cos\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)\cdot \cos x.

Passo 5

Agora avaliamos a derivada em x=\pi:
y'(\pi)=\cos\bigl(\operatorname{sen}\pi\bigr)\cdot \cos\pi.
Calculemos os valores:
  • \operatorname{sen}\pi = 0.
  • \cos 0 = 1.
  • \cos\pi = -1.
Substituindo:
y'(\pi)=\cos(0)\cdot(-1)=1\cdot(-1)=-1.
Logo o coeficiente angular da reta tangente no ponto é m=-1.

Passo 6

Fórmula da reta tangente (forma ponto‑inclinação):
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui temos x_{0}=\pi, y_{0}=0 e m=-1. Substituindo esses valores obtemos a equação da reta tangente (coloco a forma final na seção de resposta).

Resposta

y=-x+\pi

Exercícios relacionados