Derive:
(c) r(t)=(tg(t), 2^t t^2, 2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função vetor
r(t)=l(tan(t),,2^t,t^2,,2r)
O conteúdo principal aqui é a diferenciação de funções elementares coordenada a coordenada, usando:
– derivada de tan(t);
– regra do produto e derivada de 2^t;
– derivada de constante.

Passo 2

Derivamos a primeira componente tan(t). Lembrando que
ddtl(tan(t)r)=sec^2(t),
logo a primeira componente de r'(t) é sec^2(t).

Passo 3

Derivamos a segunda componente f(t)=2^t,t^2. Aqui usamos a regra do produto, com
u(t)=2^t, v(t)=t^2
Então
u'(t)=2^tln(2), v'(t)=2t
e pela regra do produto
ddtl(2^tt^2r) = u'(t),v(t)+u(t),v'(t) =2^tln(2),t^2+2^t,2t
Podemos escrever
2^tln(2),t^2+2^t,2t =2^ttl(tln(2)+2r)

Passo 4

Derivamos a terceira componente, que é a constante 2. A derivada de uma constante é zero, então a terceira componente de r'(t) é 0.

Resposta

r'(t) =l(sec^2(t),,2^t,t^2ln(2)+2^t+1t,,0r) =l(sec^2(t),,2^ttl(tln(2)+2r),,0r)

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