Derive:
(b) h(x)=integralx^2^1+e^3 x sen(t^2) d t.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
h(x) = integralx^2^1 + e^3x sin(t^2) , dt
O objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, lembramos que quando temos uma integral com limites que dependem de h'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , a derivada dessa integral em relação a pode ser encontrada pela diferença das funções integradas avaliadas nos limites, multiplicadas pelas derivadas dos limites.
Matematicamente, se , então:

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso, identificamos:
  • e
Agora, calculamos as derivadas dos limites:

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da derivada:
h'(x) = sin((1 + e^3x)^2) cdot 3e^3x - sin((x^2)^2) cdot 2x
Simplificando as potências:
h'(x) = 3e^3x cdot sin((1 + e^3x)^2) - 2x cdot sin(x^4)

Resposta

A derivada de h'(x) = 3e^3x cdot sin((1 + e^3x)^2) - 2x cdot sin(x^4) é:

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