Sejam f uma função derivável e g e h dadas por g(x) = 4^(f(x)) e h(x) = log7 |f(x)|. Sabendo que f(0) = -1 e f'(0) = 2, calcule g'(0) e h'(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de duas funções e no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivada de funções compostas e logarítmicas. Sabemos que e , que serão fundamentais para nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Para derivar uma função da forma , usamos a regra:
Aqui, e . Então, aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos substituir nos valores que já conhecemos. Sabemos que e . Então:
Simplificando que é :

Passo 4

Agora, vamos para a função . Para derivar logaritmos, usamos a regra:
Onde é a função sinal que nos dá 1 se é positivo e -1 se é negativo. No nosso caso, , então .

Passo 5

Substituindo os valores na expressão da derivada:
Isso simplifica para:

Resposta

Portanto, as derivadas no ponto são:
e

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