Sejam
uma função derivável e
e
dadas por
e
. Sabendo que
e
, calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas de duas funções
e
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivada de funções compostas e logarítmicas. Sabemos que
e
, que serão fundamentais para nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. Para derivar uma função da forma
, usamos a regra:
Aqui,
e
. Então, aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos substituir
nos valores que já conhecemos. Sabemos que
e
. Então:
Simplificando
que é
:
Passo 4
Agora, vamos para a função
. Para derivar logaritmos, usamos a regra:
Onde
é a função sinal que nos dá 1 se
é positivo e -1 se é negativo. No nosso caso,
, então
.
Passo 5
Substituindo os valores na expressão da derivada:
Isso simplifica para:
Resposta
Portanto, as derivadas no ponto
são:
e