Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes
j) integral x^2 cos (k x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na regra do produto da derivada e é dada por:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 3

Vamos escolher du = 2x , dx e v = integral cos(k x) , dx = sin(k x)k . Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 cos(k x) , dx = u , v - integral v , du = x^2 cdot sin(k x)k - integral sin(k x)k cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^2 sin(k x)k - 2k integral x sin(k x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = x e dv = sin(k x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
du = dx
Diferenciando e integrando:
v = -cos(k x)k

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x sin(k x) , dx = u , v - integral v , du = x cdot (-cos(k x)k) - integral (-cos(k x)k) , dx
Simplificando:
= -x cos(k x)k + 1k integral cos(k x) , dx
Integrando = -x cos(k x)k + 1k cdot sin(k x)k + C = -x cos(k x)k + sin(k x)k^2 + C :

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x^2 cos(k x) , dx = x^2 sin(k x)k - 2k ( -x cos(k x)k + sin(k x)k^2 ) + C
Simplificando:
= x^2 sin(k x)k + 2x cos(k x)k^2 - 2 sin(k x)k^3 + C

Resposta

A integral x^2 sin(k x)k + 2x cos(k x)k^2 - 2 sin(k x)k^3 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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