Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis càsas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 até 0,2 usando uma série de potências, e queremos que o resultado seja preciso até sexta casa decimal. Vamos usar a matéria de séries de Taylor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser expandido em uma série de potências usando a fórmula da série geométrica:
Isso é válido para
, ou seja, para
. Como nosso intervalo é de 0 a 0,2, estamos dentro da área de convergência.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série de potências termo a termo de 0 a 0,2:
Passo 4
Integrando cada termo individualmente:
Então, a série integrada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular os primeiros termos da série até que a contribuição do próximo termo seja menor que
(para garantir a precisão de seis casas decimais).
Vamos calcular os termos para
:
Para
:
Para
:
Para
:
O próximo termo para
será ainda menor que
, então podemos parar aqui.
Passo 6
Somando os termos até
:
Como o próximo termo é menor que
, nossa aproximação está dentro da precisão desejada.
Resposta
A aproximação da integral
usando uma série de potências, com precisão de seis casas decimais, é aproximadamente 0,199936.