Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis càsas decimais.
integral0^0,2 11+x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até 0,2 usando uma série de potências, e queremos que o resultado seja preciso até sexta casa decimal. Vamos usar a matéria de séries de Taylor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 11 - (-x^4) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n pode ser expandido em uma série de potências usando a fórmula da série geométrica:
Isso é válido para , ou seja, para . Como nosso intervalo é de 0 a 0,2, estamos dentro da área de convergência.

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série de potências termo a termo de 0 a 0,2:
integral0^0,2 11+x^4 dx = integral0^0,2 sumn=0^infty (-1)^n x^4n dx = sumn=0^infty (-1)^n integral0^0,2 x^4n dx

Passo 4

Integrando cada termo individualmente:
integral0^0,2 x^4n dx = [ x^4n+14n+1 ]0^0,2 = (0,2)^4n+14n+1
Então, a série integrada fica:
sumn=0^infty (-1)^n (0,2)^4n+14n+1

Passo 5

Agora, vamos calcular os primeiros termos da série até que a contribuição do próximo termo seja menor que (-1)^0 (0,2)^11 = 0,2 (para garantir a precisão de seis casas decimais).
Vamos calcular os termos para (-1)^1 (0,2)^55 = -0,000325 = -0,000064 :
Para (-1)^2 (0,2)^99 = 0,0000005242889 approx 0,0000000582 :
Para :
Para :
O próximo termo para será ainda menor que , então podemos parar aqui.

Passo 6

Somando os termos até 0,2 - 0,000064 + 0,0000000582 approx 0,1999360582 :
Como o próximo termo é menor que , nossa aproximação está dentro da precisão desejada.

Resposta

A aproximação da integral usando uma série de potências, com precisão de seis casas decimais, é aproximadamente 0,199936.

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