Seja
dada por:
Mostre que
f é contínua em
x=0 .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
f é contínua em
x=0 . Vamos usar a definição:
f é contínua em
0 se
e estabelecer isso por um argumento
varepsilon -
de<a .
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor de
f em
0 . Como
0inQ , vale
Passo 3
Agora analisamos
lvert f(x)-f(0)rvert . Há dois casos, mas podemos unificar:
- Se
, entãoxinQ ef(x)=x .lvert f(x)-0rvert=lvert xrvert - Se
, entãoxnotinQ ef(x)=0 .lvert f(x)-0rvert=0
Em ambos os casos temos
Passo 4
Dado
varepsilon>0 , basta escolher
Então, sempre que
lvert x-0rvert<de<a , obtemos
Isso mostra que
limxto0f(x)=f(0) , logo
f é contínua em
0 .
Resposta
A função
f é contínua em
x=0 .