Seja f: R R dada por:
f(x)=ll x, & se x in Q 0, & se x notin Q
Mostre que f é contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x,&se xinQ, 0,&se xnotinQ,
e pede para mostrar que f é contínua em x=0. Vamos usar a definição: f é contínua em 0 se
limxto0f(x)=f(0),
e estabelecer isso por um argumento varepsilon- de<a.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de f em 0. Como 0inQ, vale
f(0)=0

Passo 3

Agora analisamos lvert f(x)-f(0)rvert. Há dois casos, mas podemos unificar:
  • Se xinQ, então f(x)=x e lvert f(x)-0rvert=lvert xrvert.
  • Se xnotinQ, então f(x)=0 e lvert f(x)-0rvert=0.
    Em ambos os casos temos
lvert f(x)-f(0)rvert;<=;lvert xrvert

Passo 4

Dado varepsilon>0, basta escolher
de<a=varepsilon
Então, sempre que lvert x-0rvert<de<a, obtemos
lvert f(x)-f(0)rvert<=lvert xrvert=lvert x-0rvert<de<a=varepsilon
Isso mostra que limxto0f(x)=f(0), logo f é contínua em 0.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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