Integre as seguintes funções vetoriais:
(a) r(t)=sec (t) imath+cos ^2(3 t) jmath+2^-t^2+13 t k.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (integração indefinida) da função vetorial
.
Para isso vamos usar que a integral de cada componente é feita separadamente.
Precisamos de:
– a fórmula ,
– a identidade de ângulo duplo para ,
– e a técnica de completar quadrado função erro para a parte exponencial gaussiana.

Passo 2

Integramos a primeira componente
integral sec(t),dt
Sabemos que
integral sec t,dt = lnl|sec t+tan tr| + C1

Passo 3

Para a segunda componente escrevemos
cos^2(3t)=1+cos(6t)2
e integramos:
integral cos^2(3t),dt = integral 1+cos(6t)2,dt = 12,t + 12integral cos(6t),dt = t2 + sin(6t)12 + C2

Passo 4

Para a terceira componente analisamos
Fazendo e completando o quadrado em , obtemos
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Resposta

onde é o vetor constante de integração.

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