Derive.
(c) f(x)=e^{\operatorname{tg}(x)}+\operatorname{tg}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{\operatorname{tg}(x)}+\operatorname{tg}\bigl(e^{x}\bigr).
Para isso vamos usar a regra da cadeia duas vezes: uma para e^{\operatorname{tg}(x)} e outra para \operatorname{tg}(e^{x}). Também precisamos saber que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=e^{u(x)}\,u'(x) \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}(v(x))\bigr)=\bigl(1+\operatorname{tg}^2(v(x))\bigr)\,v'(x).

Passo 2

Derivamos o primeiro termo
f_1(x)=e^{\operatorname{tg}(x)}.
Aplicando a regra da cadeia com u(x)=\operatorname{tg}(x), temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}(x)\bigr) =1+\operatorname{tg}^2(x).
Logo
f_1'(x) =e^{\operatorname{tg}(x)}\bigl(1+\operatorname{tg}^2(x)\bigr).

Passo 3

Derivamos o segundo termo
f_2(x)=\operatorname{tg}\bigl(e^{x}\bigr).
Aqui v(x)=e^{x} e v'(x)=e^{x}. Então, pela regra da cadeia,
f_2'(x) =\bigl(1+\operatorname{tg}^2(e^{x})\bigr)\,e^{x}.

Passo 4

Somando as duas derivadas obtidas, a derivada de f é
f'(x) =e^{\operatorname{tg}(x)}\bigl(1+\operatorname{tg}^2(x)\bigr) \;+\;e^{x}\bigl(1+\operatorname{tg}^2(e^{x})\bigr).

Resposta

f'(x) =e^{\operatorname{tg}(x)}\bigl(1+\operatorname{tg}^2(x)\bigr) +e^{x}\bigl(1+\operatorname{tg}^2(e^{x})\bigr).

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