Encontre
e
para a curva
no ponto em que
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da curva dada implicitamente por
no ponto em que
. Para isso, vamos usar derivação implícita (regra da cadeia) para obter
e depois diferenciar
em relação a
(regra do produto e cadeia) para obter
.
Passo 2
Diferenciando
em relação a , temos
em relação a
Como
e
,
obtém-se
e
obtém-se
Multiplicando por 2 e isolando
, conclui-se
Passo 3
Para encontrar o ponto, note que
implica
.
Quando ,
e então
, ou seja,
.
Substituindo em
,
temos
Quando
Substituindo em
temos
Passo 4
Escrevendo
e diferenciando em relação a (regra do produto e cadeia),
e diferenciando em relação a
Mas da equação derivada em
Passo 5
Substituindo,
Passo 6
Avaliando em
:
e
Logo
e
Logo