Encontre y^{\prime} e y^{\prime \prime} para a curva \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 no ponto em que x=\frac{1}{4}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da curva dada implicitamente por
\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1
no ponto em que x = \tfrac14. Para isso, vamos usar derivação implícita (regra da cadeia) para obter y' e depois diferenciar y' em relação a x (regra do produto e cadeia) para obter y''.

Passo 2

Diferenciando
\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1
em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\sqrt{x} + \frac{d}{dx}\sqrt{y} = 0.
Como
\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
e
\frac{d}{dx}\sqrt{y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}\,y',
obtém-se
\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\,y' = 0.
Multiplicando por 2 e isolando y', conclui-se
y' = -\,\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}.

Passo 3

Para encontrar o ponto, note que
\sqrt{x}+\sqrt{y}=1 implica \sqrt{y}=1-\sqrt{x}.
Quando x=\tfrac14, \sqrt{x}=\tfrac12 e então \sqrt{y}=1-\tfrac12=\tfrac12, ou seja, y=\tfrac14.
Substituindo em
\displaystyle y'=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}},
temos
y'\bigl(\tfrac14,\tfrac14\bigr) = -\frac{\tfrac12}{\tfrac12} = -1.

Passo 4

Escrevendo
\displaystyle y' = -\,y^{1/2}\,x^{-1/2}
e diferenciando em relação a x (regra do produto e cadeia),
y'' = -\Bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{y}}\,y'\,x^{-1/2} + y^{1/2}\bigl(-\tfrac12\,x^{-3/2}\bigr)\Bigr) = -\frac{y'}{2\sqrt{y}\,\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{y}}{2\,x^{3/2}}.
Mas da equação derivada em

Passo 5

\displaystyle \frac{y'}{\sqrt{y}\,\sqrt{x}}=-\frac1x.
Substituindo,
y'' = -\Bigl(-\frac{1}{2x}\Bigr)+\frac{\sqrt{y}}{2\,x^{3/2}} = \frac{1}{2x} + \frac{\sqrt{y}}{2\,x^{3/2}}.

Passo 6

Avaliando em x=y=\tfrac14:
\displaystyle \frac{1}{2x} = \frac{1}{2\cdot\tfrac14}=2
e
\displaystyle \frac{\sqrt{y}}{2\,x^{3/2}} = \frac{\tfrac12}{2\,(1/4)^{3/2}} = \frac{\tfrac12}{2\cdot\frac1{8}} = 2.
Logo
y''\bigl(\tfrac14,\tfrac14\bigr) = 2 + 2 = 4.

Resposta

y'=-1
y''=4

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