Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
; os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede o esboço de
determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos de crescimento e decrescimento, os intervalos de concavidade e a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda, além de analisar assíntotas, para montar o gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas de
.
O domínio é porque o denominador não pode ser zero. Há assíntota vertical em
O domínio é
Para encontrar a assíntota oblíqua em
, fazemos a divisão de polinômios:
Logo, em
,
Passo 3
Calcular a derivada primeira e estudar monotonicidade e extremos.
As raízes de
são
(multiplicidade
) e
. Como
para todo
, o sinal de
é o sinal de
:
- Para
, e . - Para
, .
Ema derivada se anula mas não troca de sinal, logo não é extremo. Em há troca de sinal de de negativo para positivo, caracterizando um mínimo relativo em
Passo 4
Calcular a derivada segunda e estudar concavidade e pontos de inflexão.
Usando quociente ou produto, chega-se a
Usando quociente ou produto, chega-se a
Observe que
não se anula no real (discriminante negativo), restando única raiz de
em
. O sinal de
é dado por
- Para
: denom negativo, numerador (côncavo para cima). - Para
: numerador , denom (côncavo para baixo). - Para
: numerador , denom (côncavo para cima).
Assim, há ponto de inflexão em, com
Passo 5
Anotar coordenadas e tangente no ponto de inflexão.
No ponto de inflexão , a reta tangente tem coeficiente angular
No ponto de inflexão
logo é a reta horizontal
Passo 6
Resumir resultados para montar o esboço:
— Domínio: .
— Assíntotas: vertical em , oblíqua em
.
— Crescimento: decrescente em e crescente em
.
— Extremo relativo: mínimo em .
— Concavidade: côncavo para cima em e
, côncavo para baixo em
.
— Ponto de inflexão em com tangente
.
— Domínio:
— Assíntotas: vertical em
— Crescimento: decrescente em
— Extremo relativo: mínimo em
— Concavidade: côncavo para cima em
— Ponto de inflexão em
Resposta
Segue o esboço qualitativo do gráfico de
, mostrando:
– o assíntota vertical ,
– a assíntota oblíqua ,
– o ponto de inflexão com tangente horizontal,
– o mínimo relativo em ,
– intervalos de crescimento/decrescimento e de concavidade conforme indicado.
– o assíntota vertical
– a assíntota oblíqua
– o ponto de inflexão
– o mínimo relativo em
– intervalos de crescimento/decrescimento e de concavidade conforme indicado.