Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
y=\frac{x^{3}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço de
f(x)=\frac{x^{3}}{x-2}
determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos de crescimento e decrescimento, os intervalos de concavidade e a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda, além de analisar assíntotas, para montar o gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas de f.
O domínio é \mathbb{R}\setminus\{2\} porque o denominador não pode ser zero. Há assíntota vertical em
x=2.
Para encontrar a assíntota oblíqua em \pm\infty, fazemos a divisão de polinômios:
\frac{x^{3}}{x-2}=x^2+2x+4+\frac{8}{x-2}.
Logo, em \vert x\vert\to\infty,
y\sim x^2+2x+4.

Passo 3

Calcular a derivada primeira e estudar monotonicidade e extremos.
f'(x) =\frac{(3x^2)(x-2)-x^3\cdot1}{(x-2)^2} =\frac{2x^2(x-3)}{(x-2)^2}.
As raízes de f' são x=0 (multiplicidade 2) e x=3. Como (x-2)^2>0 para todo x\neq2, o sinal de f' é o sinal de 2x^2(x-3):
  • Para x<3, x^2\ge0 e (x-3)<0 \Rightarrow f'<0.
  • Para x>3, (x-3)>0 \Rightarrow f'>0.
    Em x=0 a derivada se anula mas não troca de sinal, logo não é extremo. Em x=3 há troca de sinal de f' de negativo para positivo, caracterizando um mínimo relativo em
f(3)=\frac{3^3}{3-2}=27.

Passo 4

Calcular a derivada segunda e estudar concavidade e pontos de inflexão.
Usando quociente ou produto, chega-se a
f''(x) =2\,\frac{x\bigl(x^2-6x+12\bigr)}{(x-2)^3}.
Observe que x^2-6x+12 não se anula no real (discriminante negativo), restando única raiz de f'' em x=0. O sinal de f'' é dado por
\mathrm{sgn}(f'')=\mathrm{sgn}\bigl(2x\bigr)\cdot\mathrm{sgn}\bigl((x-2)^3\bigr).
  • Para x<0: x<2 \Rightarrow denom negativo, numerador 2x<0 \Rightarrow f''>0 (côncavo para cima).
  • Para 0<x<2: numerador >0, denom <0 \Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>2: numerador >0, denom >0 \Rightarrow f''>0 (côncavo para cima).
    Assim, há ponto de inflexão em x=0, com
f(0)=0,\quad f'(0)=0.

Passo 5

Anotar coordenadas e tangente no ponto de inflexão.
No ponto de inflexão (0,0), a reta tangente tem coeficiente angular
f'(0)=0,
logo é a reta horizontal
y=0.

Passo 6

Resumir resultados para montar o esboço:
— Domínio: (-\infty,2)\cup(2,\infty).
— Assíntotas: vertical em x=2, oblíqua em y=x^2+2x+4.
— Crescimento: decrescente em (-\infty,3) e crescente em (3,\infty).
— Extremo relativo: mínimo em (3,27).
— Concavidade: côncavo para cima em (-\infty,0) e (2,\infty), côncavo para baixo em (0,2).
— Ponto de inflexão em (0,0) com tangente y=0.

Resposta

Segue o esboço qualitativo do gráfico de f(x)=\dfrac{x^3}{x-2}, mostrando:
– o assíntota vertical x=2,
– a assíntota oblíqua y=x^2+2x+4,
– o ponto de inflexão (0,0) com tangente horizontal,
– o mínimo relativo em (3,27),
– intervalos de crescimento/decrescimento e de concavidade conforme indicado.

Exercícios relacionados