DERIVE CADA UMA DAS EXPRESSŐES ABAIXO COM RESPEITO A VARIAVEL x
x(raizsin (x)-2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da expressão x(raizsin(x) - 2) em relação a x . Aqui, a matéria que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Precisamos lembrar como derivar funções polinomiais, funções trigonométricas e como trabalhar com raízes e produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, identifique que temos um produto de duas funções: u(x) = x e v(x) = raizsin(x) - 2 . Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de u(x)v(x) é u'(x)v(x) + u(x)v'(x) .

Passo 3

Vamos derivar u(x) = x . A derivada de x em relação a x é simplesmente 1. Então, u'(x) = 1 .

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x) = raizsin(x) - 2 . Primeiro, a derivada de uma constante como -2 é 0, então só precisamos derivar raizsin(x) .
A função raizsin(x) pode ser reescrita como (sin(x))^1/2 . Para derivar isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz para derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
Então, a derivada de (sin(x))^1/2 é:
12 (sin(x))^-1/2 cdot cos(x)
Isso simplifica para:
cos(x)2raizsin(x)
Portanto, v'(x) = cos(x)2raizsin(x) .

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = (1)(raizsin(x) - 2) + x ( cos(x)2raizsin(x) )

Passo 6

Simplificando a expressão final:
f'(x) = raizsin(x) - 2 + x cos(x)2raizsin(x)

Resposta

A derivada da expressão x(raizsin(x) - 2) em relação a x é:
f'(x) = raizsin(x) - 2 + x cos(x)2raizsin(x)

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