Questão 11. Use integração por partes para resolver as integrais:
integral x arctan (x) d xraiz1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x,arctan(x)raiz1+x^2,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar lembrar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e saber integrar integral xraiz1+x^2,dx e integral dxraiz1+x^2.

Passo 2

Escolhemos na parte de integração por partes
u = arctan(x), dv = xraiz1+x^2,dx
Então
du = 11+x^2,dx
e precisamos encontrar
v = integral xraiz1+x^2,dx

Passo 3

Para calcular v fazemos a substituição t = 1+x^2, dt = 2x,dx, logo
integral xraiz1+x^2,dx = 12 integral dtraizt = 12 cdot 2raizt = raiz1+x^2
Portanto v = raiz1+x^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral x,arctan(x)raiz1+x^2,dx = u,v - integral v,du = arctan(x),raiz1+x^2 - integral raiz1+x^2;11+x^2,dx
ou seja
integral x,arctan(x)raiz1+x^2,dx = arctan(x),raiz1+x^2 - integral dxraiz1+x^2

Passo 5

Resta calcular
integral dxraiz1+x^2
que é a primitiva da função hiperbólica inversa, dando
arsinh(x) = lnl(x+raiz1+x^2r)
Substituindo, obtemos
integral x,arctan(x)raiz1+x^2,dx = raiz1+x^2;arctan(x) - lnl(x+raiz1+x^2r) + C

Resposta

boxed integral x,arctan(x)raiz1+x^2,dx = raiz1+x^2;arctan(x) - lnl(x+raiz1+x^2r) + C

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