DERIVE CADA UMA DAS EXPRESSŐES ABAIXO COM RESPEITO A VARIAVEL x
3 x^74 x^5-3 x^2

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função f(x) = 3 x^74 x^5 - 3 x^2 . Estamos trabalhando com derivação, especificamente usando a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra. Para isso, vamos precisar identificar as partes da função e aplicar a regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do quociente. Se temos uma função f(x) = u(x)v(x) , então a derivada f'(x) é dada por:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2
Aqui, precisamos identificar u(x) e v(x) na nossa função.

Passo 3

Identificando as partes:
u(x) = 3x^7 e v(x) = 4x^5 - 3x^2
Agora, vamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) .

Passo 4

Calculando u'(x) :
u'(x) = ddx(3x^7) = 3 cdot 7x^7-1 = 21x^6
Calculando v'(x) :
v'(x) = ddx(4x^5 - 3x^2) = 4 cdot 5x^5-1 - 3 cdot 2x^2-1 = 20x^4 - 6x

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo u(x) , u'(x) , v(x) e v'(x) :
f'(x) = 21x^6 cdot (4x^5 - 3x^2) - 3x^7 cdot (20x^4 - 6x)(4x^5 - 3x^2)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos as multiplicações:
21x^6 cdot 4x^5 = 84x^11
21x^6 cdot (-3x^2) = -63x^8
3x^7 cdot 20x^4 = 60x^11
3x^7 cdot (-6x) = -18x^8
Substituindo na expressão do numerador:
84x^11 - 63x^8 - 60x^11 + 18x^8 = (84x^11 - 60x^11) + (-63x^8 + 18x^8) = 24x^11 - 45x^8

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = 24x^11 - 45x^8(4x^5 - 3x^2)^2
Podemos fatorar o numerador para simplificar:
24x^11 - 45x^8 = 3x^8(8x^3 - 15)
E o denominador pode ser reescrito como:
(4x^5 - 3x^2)^2 = x^4(4x^3 - 3)^2
Portanto, simplificando:
f'(x) = 3x^8(8x^3 - 15)x^4(4x^3 - 3)^2 = 3x^4(8x^3 - 15)(4x^3 - 3)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 3x^4(8x^3 - 15)(4x^3 - 3)^2

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