DERIVE CADA UMA DAS EXPRESSŐES ABAIXO COM RESPEITO A VARIAVEL x
sin ^3(cos ^3(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sin^3l(cos^3(x)r)
ou seja, uma função composta sobreposta duas vezes. Vamos usar a regra da cadeia em dois níveis: primeiro sobre a potência de seno e depois sobre a potência de cosseno.

Passo 2

Definimos
g(u)=sin^3(u), h(x)=cos^3(x),
de modo que f(x)=gl(h(x)r). A regra da cadeia diz que
f'(x)=g'l(h(x)r)cdot h'(x)

Passo 3

Calculamos g'(u). Como g(u)=(sin u)^3, pela cadeia interna temos
g'(u)=3,sin^2(u),ddu[sin(u)] =3,sin^2(u),cos(u)

Passo 4

Agora calculamos h'(x). Como h(x)=(cos x)^3, aplicamos a cadeia interna:
h'(x)=3,cos^2(x),ddx[cos(x)] =3,cos^2(x),(-sin(x)) =-3,cos^2(x),sin(x)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia completa:
f'(x) =g'l(h(x)r)cdot h'(x) =3,sin^2l(cos^3(x)r),cosl(cos^3(x)r) ;times; l[-3,cos^2(x),sin(x)r]
Multiplicando os fatores constantes e reorganizando,
f'(x)=-9,sin^2l(cos^3(x)r), cosl(cos^3(x)r), cos^2(x),sin(x)

Resposta

f'(x)=-9,sin^2l(cos^3(x)r), cosl(cos^3(x)r), cos^2(x),sin(x)

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