Questão 13. Resolva as integrais das funções racionais:
integral d x(x-1)^2(x-2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dx(x-1)^2(x-2)
Esse é um caso de integral de função racional, e a estratégia é usar decomposição em frações parciais para escrever a integranda como soma de termos mais simples de integrar.

Passo 2

Vamos escrever
1(x-1)^2(x-2)=Ax-1+B(x-1)^2+Cx-2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x-2), obtemos
1 = A(x-1)(x-2)+B(x-2)+C(x-1)^2
Para determinar A, B e C:
ao tomar x=1 vem
1 = B(1-2)=-BRightarrow B=-1
ao tomar x=2 vem
1 = C(2-1)^2=CRightarrow C=1
Para A, escolha x=0:
1 = A(-1)(-2)+B(-2)+C(1) =2A+2+1 Rightarrow 2A=-2 Rightarrow A=-1

Passo 3

Substituindo os coeficientes na integral, fica
1(x-1)^2(x-2) =-1x-1-1(x-1)^2+1x-2
Logo
integral dx(x-1)^2(x-2) = integral l(-1x-1r)dx + integral l(-1(x-1)^2r)dx + integral 1x-2dx
Sabendo que
integral dxx-a=ln|x-a|, integral dx(x-a)^2=-1x-a,
temos
integral -1x-1dx=-ln|x-1|, integral -1(x-1)^2dx=1x-1, integral 1x-2dx=ln|x-2|

Resposta

integral dx(x-1)^2(x-2) = lnl|x-2x-1r| + 1x-1 + C

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