Questão 13. Resolva as integrais das funções racionais:
Passo 1
Estamos querendo calcular a integral
Este é um caso de integração de função racional, onde a técnica principal é a decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar o integrando como soma de termos simples que saibamos integrar.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
Logo
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais na forma
Multiplicando ambos os lados por , obtemos
Passo 4
Expandindo e coletando coeficientes em
Comparando com , montamos o sistema
Da terceira equação vem dá . Finalmente,
Passo 5
Com A=-2, B=2 e C=-3, reescrevemos a integral:
integral x-8x,(x-2)^2,dx = integral l(-2x + 2x-2 - 3(x-2)^2r),dx
Agora integramos termo a termo:
integral -2x,dx = -2lnlvert xrvert,
integral 2x-2,dx = 2lnlvert x-2rvert,
integral -3(x-2)^2,dx = -3integral (x-2)^-2,dx = -3cdot(x-2)^-1-1 = 3x-2
Resposta
integral x-8x^3-4x^2+4x,dx = -2lnlvert xrvert + 2lnlvert x-2rvert + 3x-2 + C