Questão 13. Resolva as integrais das funções racionais:
integral (x-8) d xx^3-4 x^2+4 x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral
integral x-8x^3-4x^2+4x,dx
Este é um caso de integração de função racional, onde a técnica principal é a decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar o integrando como soma de termos simples que saibamos integrar.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^3-4x^2+4x = x,(x^2-4x+4) = x,(x-2)^2
Logo
x-8x^3-4x^2+4x = x-8x,(x-2)^2

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais na forma
x-8x,(x-2)^2 = Ax + Bx-2 + C(x-2)^2
Multiplicando ambos os lados por x,(x-2)^2, obtemos
x-8 = A,(x-2)^2 + B,x,(x-2) + C,x

Passo 4

Expandindo e coletando coeficientes em
Comparando com , montamos o sistema
Da terceira equação vem . Finalmente,

Passo 5

Com A=-2, B=2 e C=-3, reescrevemos a integral:
integral x-8x,(x-2)^2,dx = integral l(-2x + 2x-2 - 3(x-2)^2r),dx
Agora integramos termo a termo:
integral -2x,dx = -2lnlvert xrvert,
integral 2x-2,dx = 2lnlvert x-2rvert,
integral -3(x-2)^2,dx = -3integral (x-2)^-2,dx = -3cdot(x-2)^-1-1 = 3x-2

Resposta

integral x-8x^3-4x^2+4x,dx = -2lnlvert xrvert + 2lnlvert x-2rvert + 3x-2 + C

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