Derive cada função abaixo.
f(x)= \begin{cases}x^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\\\ 0, & x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{3}\sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\[4pt] 0, & x=0,\end{cases}
e pede para derivar f, isto é, encontrar f'(x) para todos os pontos do domínio (para x\neq0 e para x=0). As informações relevantes são: a expressão explícita para x\neq0 e o valor de f em x=0. A resolução seguirá separando os dois casos.]

Passo 2

Para x\neq0 vamos usar a regra do produto. Vou explicar a regra do produto como se fosse um macete: se você tem duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui identificamos u(x)=x^{3} e v(x)=\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right). Agora calculamos u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 3

Calcule u'(x). Como u(x)=x^{3}, aplicando a regra de potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) obtemos
u'(x)=3x^{2}.
Isso é direto: a variável x é a mesma da função, e o expoente 3 desce multiplicando e diminui em 1.

Passo 4

Calcule v'(x). Aqui usamos a regra da cadeia porque v(x)=\sin(g(x)) com g(x)=\tfrac{1}{x}. A regra da cadeia diz
(\sin(g(x)))' = \cos(g(x))\cdot g'(x).
Primeiro g(x)=\tfrac{1}{x}. A derivada de g é (usando x^{-1})
g'(x)=\left(\tfrac{1}{x}\right)' = -\tfrac{1}{x^{2}}.
Portanto
v'(x)=\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\cdot\left(-\tfrac{1}{x^{2}}\right) = -\tfrac{\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right)}{x^{2}}.
É importante ver que a derivada do interno 1/x aparece multiplicando.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto juntando os pedaços: u'v+uv'. Para x\neq0,
f'(x)=3x^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + x^{3}\left(-\tfrac{\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right).
Simplificando o segundo termo ( x^{3}\cdot \tfrac{1}{x^{2}} = x), obtemos
f'(x)=3x^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) - x\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right),\qquad x\neq0.
Pronto: essa é a derivada para todos os pontos diferentes de zero. Repare que usei regras que você pode aplicar rápido na prova: potência, cadeia e produto.

Passo 6

Agora precisamos do valor de f'(0). Para isso usamos a definição de derivada em um ponto:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-0}{h}.
Para h\neq0 temos f(h)=h^{3}\sin\!\left(\tfrac{1}{h}\right). Substituindo,
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{h^{3}\sin\!\left(\tfrac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{h\to 0} h^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{h}\right).

Passo 7

Avalie o limite \lim_{h\to 0} h^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{h}\right). Aqui usamos o teorema do sanduíche (squeeze): sabemos que |\sin(t)|\le1 para todo t, então
\left|h^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{h}\right)\right|\le h^{2}.
Como \lim_{h\to0} h^{2}=0, pela desigualdade temos \lim_{h\to0} h^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{h}\right)=0. Assim
f'(0)=0.
Intuitivamente: mesmo que \sin(1/h) oscile muito quando h\to0, o fator h^{2} anula essas oscilações e manda tudo para zero.

Passo 8

Observação extra (útil na prova): a derivada que achamos para x\neq0,
f'(x)=3x^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)-x\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right),
quando x\to0 tende a 0 porque \;3x^{2}\sin(1/x)\to0 e \;x\cos(1/x)\to0. Portanto f' é até contínua em 0. Isso não era pedido, mas é um bom bônus para mostrar entendimento.

Resposta

f'(x)=3x^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)-x\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right),\quad x\neq0
f'(0)=0

Exercícios relacionados