f(x)= \begin{cases}x^{3}\sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\[4pt] 0, & x=0,\end{cases}
e pede para derivar f, isto é, encontrar f'(x) para todos os pontos do domínio (para x\neq0 e para x=0). As informações relevantes são: a expressão explícita para x\neq0 e o valor de f em x=0. A resolução seguirá separando os dois casos.]
Passo 2
Para x\neq0 vamos usar a regra do produto. Vou explicar a regra do produto como se fosse um macete: se você tem duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui identificamos u(x)=x^{3} e v(x)=\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right). Agora calculamos u'(x) e v'(x) separadamente.
Passo 3
Calcule u'(x). Como u(x)=x^{3}, aplicando a regra de potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) obtemos
u'(x)=3x^{2}.
Isso é direto: a variável x é a mesma da função, e o expoente 3 desce multiplicando e diminui em 1.
Passo 4
Calcule v'(x). Aqui usamos a regra da cadeia porque v(x)=\sin(g(x)) com g(x)=\tfrac{1}{x}. A regra da cadeia diz
(\sin(g(x)))' = \cos(g(x))\cdot g'(x).
Primeiro g(x)=\tfrac{1}{x}. A derivada de g é (usando x^{-1})
Pronto: essa é a derivada para todos os pontos diferentes de zero. Repare que usei regras que você pode aplicar rápido na prova: potência, cadeia e produto.
Passo 6
Agora precisamos do valor de f'(0). Para isso usamos a definição de derivada em um ponto:
Avalie o limite \lim_{h\to 0} h^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{h}\right). Aqui usamos o teorema do sanduíche (squeeze): sabemos que |\sin(t)|\le1 para todo t, então
quando x\to0 tende a 0 porque \;3x^{2}\sin(1/x)\to0 e \;x\cos(1/x)\to0. Portanto f' é até contínua em 0. Isso não era pedido, mas é um bom bônus para mostrar entendimento.