Use o Teorema de Divergência para calcular integral duplapartial W F d S, onde W é o solido delimitado pela superfície z=x^2+y^2+5 e o plano z=10, e F(x, y, z)=(2 x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplapartial WFcdot dS
onde W é o sólido limitado pela superfície z = x^2 + y^2 + 5 por baixo e pelo plano z = 10 por cima, e F(x,y,z) = (2x,y,z).
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que relaciona
integral duplapartial WFcdot dS ;=;integral triplaWnablacdotF,dV

Passo 2

Calcular a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial x(2x) +partialpartial y(y) +partialpartial z(z) =2+1+1=4

Passo 3

Descrever a região W em coordenadas cilíndricas. A interseção entre z=x^2+y^2+5 e z=10 ocorre quando
x^2+y^2+5=10 Longrightarrow r^2=5,
logo a projeção no plano xy é o disco 0<= r<=raiz5, 0<=theta<=2pi, e em cada (r,theta) o z varia de z=r^2+5 até z=10.

Passo 4

Calcular o volume de W e depois multiplicar por 4. Em cilíndricas:
Vol(W) =integral0^2pi!integral0^raiz5!integralr^2+5^10r,dz,dr,dtheta =integral0^2pi!integral0^raiz5(10-(r^2+5)),r,dr,dtheta
Isso dá
Vol(W) =2piintegral0^raiz5(5 - r^2),r,dr =2pil[tfrac5r^22-tfracr^44r]0^raiz5 =2pil(tfrac252-tfrac254r) =2picdottfrac254 =tfrac25pi2

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência:
integral duplapartial WFcdot dS =integral triplaW4,dV =4cdotVol(W) =4cdottfrac25pi2 =50pi

Resposta

50pi

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