P1. Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
(h) f(x, y)=e^-y cos (pi x).

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(x,y)=e^-ycos(pi x),
e queremos as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para isso vamos usar a regra do produto (ainda que aqui seja um produto de funções que dependem de variáveis distintas) e a regra da cadeia.

Passo 2

Para partial fpartial x tratamos y como constante. O fator e^-y sai como constante, e aplicamos a derivada de cos(pi x) via regra da cadeia:
ddxcos(pi x) = -sin(pi x)cdot pi
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partial fpartial x(x,y) = e^-y,l(-pisin(pi x)r) = -pi,e^-ysin(pi x)

Passo 3

Para partial fpartial y tratamos x como constante. Agora cos(pi x) é constante, e usamos a derivada de e^-y via regra da cadeia:
ddye^-y = -e^-y
Portanto
partial fpartial y(x,y) = l(-e^-yr)cos(pi x) = -e^-ycos(pi x)

Resposta

partial fpartial x(x,y) = -pi,e^-ysin(pi x), partial fpartial y(x,y) = -e^-ycos(pi x)

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