Derive cada uma das funções abaixo:
f(t)=raiz[5]t+4 raizt^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função f(t) = raiz[5]t + 4 raizt^5 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente utilizando a regra do poder para derivadas. Vamos precisar lembrar como derivar funções que têm potências de t .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Lembrando que raiz[5]t é o mesmo que t^1/5 e raizt^5 é igual a t^5/2 . Então, a função fica:
f(t) = t^1/5 + 4 t^5/2

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do poder, que diz que a derivada de t^n é n cdot t^n-1 .

Passo 4

Derivando o primeiro termo t^1/5 :
ddt ( t^1/5 ) = 15 t^1/5 - 1 = 15 t^-4/5

Passo 5

Derivando o segundo termo 4 t^5/2 :
Primeiro aplicamos a constante 4:
ddt ( 4 t^5/2 ) = 4 cdot 52 t^5/2 - 1 = 10 t^3/2

Passo 6

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:
f'(t) = 15 t^-4/5 + 10 t^3/2

Resposta

A derivada da função é:
f'(t) = 15 t^-4/5 + 10 t^3/2

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