Questão: Calcule o Wronskiano das seguintes funções: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular o Wronskiano das funções e . O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas funções são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e montar uma matriz determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Então, para calcular o Wronskiano, precisamos encontrar f'(x) e g'(x) .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de f(x) = 1 + x . A derivada de uma constante é zero e a derivada de x é 1. Portanto:
f'(x) = 1
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de g(x) = 1 + |x| . A derivada de |x| depende de x :
Para x > 0 , |x| = x e ddx|x| = 1 .
Para x < 0 , |x| = -x e ddx|x| = -1 .
Em x = 0 , a derivada não existe, mas vamos considerar x neq 0 para este exercício.
Portanto, a derivada de g(x) é:
g'(x) = 1, & se x > 0 -1, & se x < 0
Passo 5
Agora que temos f(x) , g(x) , f'(x) e g'(x) , vamos montar o Wronskiano para x > 0 e x < 0 .
Para x > 0 :
f(x) = 1 + x g(x) = 1 + x f'(x) = 1 g'(x) = 1
Calculando o Wronskiano:
W(f,g)(x) = (1 + x)(1) - (1)(1 + x) = 1 + x - 1 - x = 0
Para x < 0 :
f(x) = 1 + x g(x) = 1 - x f'(x) = 1 g'(x) = -1
Calculando o Wronskiano:
W(f,g)(x) = (1 + x)(-1) - (1)(1 - x) = -1 - x -1 + x = -2
Resposta
O Wronskiano das funções f(x) = 1 + x e g(x) = 1 + |x| é: