Questão: Calcule o Wronskiano das seguintes funções:
f(x)=1+x e g(x)=1+|x|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular o Wronskiano das funções f(x) = 1 + x e g(x) = 1 + |x| . O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas funções são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e montar uma matriz determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o Wronskiano. Para duas funções f(x) e g(x) , o Wronskiano W(f,g)(x) é dado por:
W(f,g)(x) = f(x) & g(x) f'(x) & g'(x) = f(x)g'(x) - f'(x)g(x)
Então, para calcular o Wronskiano, precisamos encontrar f'(x) e g'(x) .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = 1 + x . A derivada de uma constante é zero e a derivada de x é 1. Portanto:
f'(x) = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de g(x) = 1 + |x| . A derivada de |x| depende de x :
  • Para x > 0 , |x| = x e ddx|x| = 1 .
  • Para x < 0 , |x| = -x e ddx|x| = -1 .
  • Em x = 0 , a derivada não existe, mas vamos considerar x neq 0 para este exercício.
Portanto, a derivada de g(x) é:
g'(x) = 1, & se x > 0 -1, & se x < 0

Passo 5

Agora que temos f(x) , g(x) , f'(x) e g'(x) , vamos montar o Wronskiano para x > 0 e x < 0 .
Para x > 0 :
f(x) = 1 + x g(x) = 1 + x f'(x) = 1 g'(x) = 1
Calculando o Wronskiano:
W(f,g)(x) = (1 + x)(1) - (1)(1 + x) = 1 + x - 1 - x = 0
Para x < 0 :
f(x) = 1 + x g(x) = 1 - x f'(x) = 1 g'(x) = -1
Calculando o Wronskiano:
W(f,g)(x) = (1 + x)(-1) - (1)(1 - x) = -1 - x -1 + x = -2

Resposta

O Wronskiano das funções f(x) = 1 + x e g(x) = 1 + |x| é:
W(f,g)(x) = 0, & se x > 0 -2, & se x < 0

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