Derive cada uma das funções dadas abaixo.
y=4 sec (5 x)

Passo 1

Então, a gente tem que derivar a função $ y = 4 \sec(5x) $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a derivada da função secante e aplicar a regra da cadeia para lidar com o argumento $ 5x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função secante. Sabemos que:
ddx[sec(u)] = sec(u) tan(u) cdot dudx
Aqui, $ u $ é uma função de $ x $. No nosso caso, $ u = 5x $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função $ y = 4 \sec(5x) $. A constante 4 fica multiplicando tudo, então vamos derivar apenas $ \sec(5x) $:
y = 4 sec(5x)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, substituímos $ u $ por $ 5x $:
u
A derivada de $ 5x $ em relação a $ x $ é 5.

Passo 5

Agora, substituímos de volta na equação:
ddx[sec(5x)] = sec(5x) tan(5x) cdot 5 = 5 sec(5x) tan(5x)

Passo 6

Finalmente, multiplicamos pelo 4 que estava na frente:
dydx = 4 cdot 5 sec(5x) tan(5x) = 20 sec(5x) tan(5x)

Resposta

A derivada da função $ y = 4 \sec(5x) $ é:
y = 4 sec(5x)

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